Der gebürtige Ost-Berliner kandidierte bereits mit 16 Jahren für die SED. Nach einem Studium am Moskauer Institut für Internationale Beziehungen arbeitete Grabowski im Ministerium für Auswärtige Beziehungen und war als Botschafter in Moskau, Syrien, Jordanien und Indien eingesetzt. Nach der Wende engagierte sich Grabowski ehrenamtlich in der PDS sowie der Rosa-Luxemburg-Stiftung, deren 2003 in Moskau eröffneten Außenstelle er als Leiter vorstand.