Nikita Wyssozki ist der Sohn des berühmten russischen Liedermachers Wladimir Wyssozki. 1986 absolvierte er die Moskauer Theaterhochschule „MChAT“ und leistete dann den obligatorischen Wehrdienst ab – das letzte halbe Jahr davon im Sowjetischen Armeetheater. Es folgten Engagements an verschiedenen Theatern.

1989 gründete er das „Moskowski Maly Teatr“, dem er bis 1991 als künstlerischer Leiter vorstand.

1996 übernahm Wyssozki die Direktion des Staatlichen Wyssozki-Museums, dessen Aufgabe die Bewahrung und Aufarbeitung des Nachlasses seines Vaters Wladimir Wyssozki ist; ein Jahr später übernahm er auch den Vorsitz der Wladimir-Wyssozki-Stiftung.

Für den 2011 erschienen Film „Wyssozki. Spasibo, schto schiwoi“ (Danke, dass ich lebe) über seinen Vater schrieb Nikita Wyssozki das Drehbuch. Seit 2012 ist er als Dozent für Regie und Schauspiel am Moskauer Staatlichen Institut für Kultur.

Nikita Wyssozki wirkte in zahlreichen Filmen und Theateraufführungen mit, so in dem 1989 gedrehten Streifen „Deja vu“, dem ein Jahr später gedrehten Film „Nautilus“, in der Fernsehserie „Безопасность“ (2017) oder als Generaladjutant Iwan I. Diditsch in der Fernsehserie „Союз Спасения. Время гнева“ (2022). Seine Fähigkeiten als Regisseur bewies er unter anderem bei Inszenierungen von „Romeo und Julia“ und „Master und Margarita“.